一般线性群- 维基百科，自由的百科全书

群GL(n, F)和它的子群經常叫做線性群或矩陣群（抽象群GL(V)是線性群但不是矩陣群）。

這些群在群表示理論中是重要的，并引發對空間對稱和一般向量空間對稱的研究，還有 ... 一般線性群 語言 監視 編輯 在數學中，n次一般線性群是n×n可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。

這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。

叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。

李群 典型群 一般線性群GL(n)特殊線性群SL(n)正交群O(n)特殊正交群SO(n)酉群U(n)特殊酉群SU(n)辛群Sp(n) 單李群 單李群列表（英語：ListofsimpleLiegroups）無限單李群：An,Bn,Cn,Dn,特殊單李群G2（英語：G2(mathematics)）F4 E6E7 E8（英語：E8(mathematics)） 其他李群（英語：TableofLiegroups） 圓群循環群勞侖茲群龐加萊群共形群（英語：Conformalgroup）微分同胚群圈群（英語：Loopgroup）李代數 指數映射李群的伴隨表示基靈型李點對稱 半單李群代數 丹金圖（英語：Dynkindiagram）嘉當子代數根系實形式(群論)（英語：Realform(Lietheory)）復化分裂李代數緊李代數 群表示論 李群表示李代數表示（英語：Liealgebrarepresentation） 物理中的李群 粒子物理學與群表示論（英語：Particlephysicsandrepresentationtheory）洛侖茲群的群表示論（英語：RepresentationtheoryoftheLorentzgroup）龐加萊群的群表示論（英語：RepresentationtheoryofthePoincarégroup）伽利略群的群表示論（英語：RepresentationtheoryoftheGalileangroup） 科學家 索菲斯·李 ·龐加萊 ·威廉·基靈 ·埃利·嘉當 ·赫爾曼·外爾 閱論編 群論 群 基本概念 子群 ·正規子群 ·商群 ·群同態 ·像 ·(半)直積 ·直和單群 ·有限群 ·無限群 ·拓撲群 ·群概形 ·循環群 ·冪零群 ·可解群 ·圈積 離散群 有限單群分類循環群Zn交錯群An散在群馬蒂厄群M11..12,M22..24康威群Co1..3揚科群J1..4費歇爾群F22..24子怪獸群B怪獸群M其他有限群對稱群,Sn二面體群,Dn無限群整數,Z模群,PSL(2,Z)和SL(2,Z) 連續群 李群一般線性群GL(n)特殊線性群SL(n)正交群O(n)特殊正交群SO(n)酉群U(n)特殊酉群SU(n)辛群Sp(n)G2F4 E6E7 E8勞侖茲群龐加萊群 無限維群 共形群微分同胚群環路群量子群O(∞)SU(∞)Sp(∞) 代數群 橢圓曲線線性代數群（英語：Linearalgebraicgroup）阿貝爾簇（英語：Abelianvariety） 閱論編 李群 典型群 一般線性群GL(n)特殊線性群SL(n)正交群O(n)特殊正交群SO(n)酉群U(n)特殊酉群SU(n)辛群Sp(n) 單李群 單李群列表（英語：ListofsimpleLiegroups）無限單李群：An,Bn,Cn,Dn,特殊單李群G2（英語：G2(mathematics)）F4 E6E7 E8（英語：E8(mathematics)） 其他李群（英語：TableofLiegroups） 圓群循環群勞侖茲群龐加萊群共形群（英語：Conformalgroup）微分同胚群圈群（英語：Loopgroup）李代數 指數映射李群的伴隨表示基靈型李點對稱 半單李群代數 丹金圖（英語：Dynkindiagram）嘉當子代數根系實形式(群論)（英語：Realform(Lietheory)）復化分裂李代數緊李代數 群表示論 李群表示李代數表示（英語：Liealgebrarepresentation） 物理中的李群 粒子物理學與群表示論（英語：Particlephysicsandrepresentationtheory）洛侖茲群的群表示論（英語：RepresentationtheoryoftheLorentzgroup）龐加萊群的群表示論（英語：RepresentationtheoryofthePoincarégroup）伽利略群的群表示論（英語：RepresentationtheoryoftheGalileangroup） 科學家 索菲斯·李 ·龐加萊 ·威廉·基靈 ·埃利·嘉當 ·赫爾曼·外爾 閱論編 為了使定義更明確，必需規定哪類對象可以成為矩陣的元素。

例如，在R（實數集）上的一般線性群是實數的n×n可逆矩陣的群，並指示為GLn(R)或GL(n,R)。

更一般的說，在任何域F（比如複數集）或環R（比如整數集的環）上的n次一般線性群是帶有來自F（或R）的元素的n×n可逆矩陣的群，帶有矩陣乘法作為群運算。

[1]典型符號是GLn(F)或GL(n,F)，如果域是自明的也可簡寫為GL(n)。

更一般的說，向量空間的一般線性群GL(V)仍是抽象自同構群，不必需寫為矩陣。

特殊線性群，寫為SL(n,F)或SLn(F)，是由行列式=1的矩陣構成的GL(n,F)的子群。

群GL(n,F)和它的子群經常叫做線性群或矩陣群（抽象群GL(V)是線性群但不是矩陣群）。

這些群在群表示理論中是重要的，並引發對空間對稱和一般向量空間對稱的研究，還有多項式的研究。

模群可以實現為特殊線性群SL(2,Z)的商群。

如果n≥2，則群GL(n,F)不是阿貝爾群。

目次 1向量空間的一般線性群 2依據行列式 3作為李群 3.1實數情況 3.2複數情況 4在有限域上 5特殊線性群 6其他子群 6.1對角子群 6.2典型群 7有關的群 7.1射影線性群 7.2仿射群 8無限一般線性群 9注釋 10參見 11進一步閱讀 向量空間的一般線性群編輯 如果V是在域F上的向量空間，V的一般線性群，寫為GL(V)或Aut(V)，是V的所有自同構的群，就是說所有雙射線性變換V→V的集合，和與之一起的函數復合作為群運算。

如果V有有限維n，則GL(V)和GL(n,F)是同構的。

這個同構不是規范的；它依賴於在V中對基的選擇。

給定V的一個基(e1,...,en)和GL(V)中自同構T，有著 T e k = ∑ j = 1 n a j k e j {\displaystyleTe_{k}=\sum_{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}}  對於某些F中的常量ajk；對應於T的矩陣就是由ajk作為元素的矩陣。

以類似的方式，對於交換環R群GL(n,R)可以被解釋為n秩的自由R-模的自同構的群。

還可以對任何模定義GL(M)，但是這一般不同構於GL(n,R)（對於任何n）。

依據行列式編輯 在域F上矩陣是可逆的，當且僅當它的行列式是非零的。

因此GL(n,F)的一個可替代定義是帶有非零行列式的矩陣。

在交換環R上，必須稍微小心一下：在R上的矩陣是可逆的，當且僅當它的行列式是R中的可逆元，就是說它的行列式在R中是可逆的。

因此GL(n,R)可以被定義為行列式為可逆元的矩陣的群。

在非交換環R上，行列式表現不好。

在這種情況下，GL(n,R)可以定義為矩陣環M(n,R)的單位群。

作為李群編輯 實數情況編輯 在實數域上的一般線性群GL(n,R)是n2維實數李群。

要得出這個結論，注意所有n×n實數矩陣的集合Mn(R)形成了n2維實向量空間。

子集GL(n,R)由行列式為非零的矩陣構成。

行列式是多項式映射，因此GL(n,R)是Mn(R)的開仿射子簇（Mn(R)在扎里斯基拓撲下的非空開子集），並且因此[2]是相同維的光滑流形。

GL(n,R)的李代數由所有n×n實數矩陣構成並帶有交換子充當李括號。

作為一個流形，GL(n,R)不是連通的而是由兩個連通單元構成：有正行列式的矩陣們和有負行列式的矩陣們。

單位分量（Identitycomponent（英語：Identitycomponent））為GL+(n,R)，由帶有正行列式的實數n×n矩陣構成。

它也是n2維李群；它有同GL(n,R)一樣的李代數。

群GL(n,R)也是非緊緻的。

GL(n,R)的極大緊子群[3]是正交群O(n)，而GL+(n,R)的極大緊子群是特殊正交群SO(n)。

至於SO(n)，群GL+(n,R)不是單連通的（除了n=1的時候），然而有基本群，它對n=2同構於Z或者對n>2同構於Z2。

複數情況編輯 在複數集上的一般線性群GL(n,C)是複數維n2的複數李群。

作為實數李群它有2n2維。

所有實數矩陣的集合形成了實數李子群。

對應於GL(n,C)的李代數由所有n×n複數矩陣組成帶有交換子充當李括號。

不像實數情況，GL(n,C)是連通的。

部分的因為複數的乘法群C×是連通的。

群流形GL(n,C)不是緊緻的；而它的極大緊子群是酉群U(n)。

至於U(n)，群流形GL(n,C)不是單連通的但有同構於Z的基本群。

在有限域上編輯 如果F是有q個元素的有限域，則我們有時寫GL(n,q)替代GL(n,F)。

在p是質數的時候，GL(n,p)是群Zpn的外自同構群，並且還是自同構群，因為Zpn是阿貝爾群，所以內自同構群是平凡的。

GL(n,q)的階是： (qn-1)(qn-q)(qn-q2)…(qn-qn-1)這可以通過計數矩陣的可能縱列數來證明：第一列可以是除了零向量的任何向量；第二列可以是除了第一列的倍數的任何向量；並且一般的說第k列可以是非前k-1列的線性張成的任何向量。

例如，GL(3,2)有階(8-1)(8-2)(8-4)=168。

它是Fano平面和群Z23的自同構群。

更一般的說，可以計數F上的格拉斯曼空間的點：換句話說就是給定維k的子空間的數目。

這只要求找到一個這種子空間的穩定子子群（在那個頁面中以分塊矩陣形式描述），並通過軌道-穩定子定理劃分成剛才給出的公式。

這些公式有聯繫於格拉斯曼空間的舒伯特分解，並且是複格拉斯曼空間的貝蒂數的q-analog。

這是導致韋伊猜想的線索之一。

特殊線性群編輯 特殊線性群SL(n,F)是帶有行列式為1的所有矩陣的群。

它們是特殊的因為它們位於子簇之上–它們滿足一個多項式方程（因為行列式是元素的多項式）。

這種類型的矩陣形成一個群，因為兩個矩陣的乘積的行列式是每個矩陣的行列式的乘積。

SL(n,F)是GL(n,F)的正規子群。

如果我們把F（排除0）的乘法群寫為F×，則行列式是群同態 det:GL(n,F)→F×。

這個映射的核就是特殊線性群。

通過第一同構定理我們得出GL(n,F)/SL(n,F)同構於F×。

事實上，GL(n,F)可以寫為SL(n,F)與F×的半直積： GL(n,F)=SL(n,F)⋊F×在F是R或C的時候，SL(n)是n2−1維的GL(n)的李群。

SL(n)的李代數由所有在F上的n×n矩陣構成帶有成為零的跡數。

李括號給出為交換子。

特殊線性群SL(n,R)可以被刻畫為保持體積和定向的Rn的線性變換的群。

群SL(n,C)是單連通的而SL(n,R)不是。

SL(n,R)有同GL+(n,R)一樣的基礎群，就是對n=2為Z或者對n>2為Z2。

其他子群編輯 對角子群編輯 所有可逆對角矩陣的集合形成了同構於(F×)n的GL(n,F)的子群。

在域如R和C中，這些對應於縮放這個空間；也就是擴張或收縮它。

標量矩陣是作為常量倍的單位矩陣的對角矩陣。

所有非零標量矩陣的集合形成了同構於F×的GL(n,F)的子群。

這個群是GL(n,F)的中心。

特別是，它是正規阿貝爾子群。

SL(n,F)的中心是帶有單位行列式的所有標量矩陣的集合，並同構於在域F中n次單位根的群。

典型群編輯 所謂的典型群是保持某種在向量空間V上的雙線性形式的GL(V)的子群。

這包括 正交群O(V)，它保持在V上的非退化二次型， 辛群Sp(V)，它保持在V上的辛形式（非退化反對稱2形式）， 酉群U(V)，它在F=C的時候保持在V上的非退化hermitian形式。

這些群提供了李群的重要例子。

有關的群編輯 射影線性群編輯 射影線性群PGL(n,F)和射影特殊線性群PSL(n,F)是GL(n,F)和SL(n,F)模以中心（它由某些倍數的單位矩陣的構成）的商群。

仿射群編輯 主條目：仿射群 仿射群Aff(n,F)是通過在Fn中的轉換的GL(n,F)的群擴張，它可以寫為半直積： Aff(n,F)=GL(n,F)⋉Fn這裡的GL(n,F)自然方式作用在Fn上。

仿射群可以被看作在向量空間Fn底層的仿射空間的所有仿射變換的群。

它有類似於一般線性群的其他子群的結構：例如，特殊仿射群是半直積SL(n,F)⋉Fn定義的子群，而龐加萊群是與洛倫茲群O(1,3,F)⋉Fn關聯的仿射群。

無限一般線性群編輯 無限一般線性群或穩定一般線性群是包含 GL ⁡ ( n , F ) → GL ⁡ ( n + 1 , F ) {\displaystyle\operatorname{GL}(n,F)\to\operatorname{GL}(n+1,F)}  為上左分塊矩陣的方向極限。

它指示為要麼 GL ⁡ ( F ) {\displaystyle\operatorname{GL}(F)}  要麼 GL ⁡ ( ∞ , F ) {\displaystyle\operatorname{GL}(\infty,F)}  ，並可以解釋為只與單位矩陣差異有限多個位置的可逆無限矩陣的集合。

它被用在代數K-理論中定義K1，並且在實數上有博特周期性定理貢獻的被良好理解了的拓撲。

注釋編輯 ^這裡的環被假定為符合結合律和有乘法單位元的。

^ 因為扎里斯基拓撲是比度量拓撲更粗；等價的說，多項式映射是連續的。

^極大緊子群不是唯一而是本質唯一的。

參見編輯 群表示論 有限單群列表 SL2(R) SL2(R)的表示論進一步閱讀編輯 "GL(2,p)andGL(3,3)ActingonPoints"byEdPegg,Jr.，TheWolframDemonstrationsProject，2007. 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=一般线性群&oldid=67746390」