被乘數和乘數互換問題 - 快樂是自找的

2011年11月8日星期二下午21：01 今天在四年五班改簿子的時候，正好聽到老師們在討論乘法的問題，有家長認為被乘數和乘數顛倒列式，答案也是一樣， ... 快樂是自找的 跳到主文 部落格全站分類：心情日記 相簿 部落格 留言 名片 Nov08Tue201121:01 被乘數和乘數互換問題 2011年11月8日星期二下午21：01 今天在四年五班改簿子的時候，正好聽到老師們在討論乘法的問題，有家長認為被乘數和乘數顛倒列式，答案也是一樣，同樣能解決問題，老師為何要要求學生一定要這樣列呢？這個問題，也正好是我之前在反思的，因此在討論過程中，重新整理一下理由。

在乘法的應用問題中，列式需不需要考慮哪一個是被乘數，哪一個是乘數，這的確是很多人說不出理由的，如果無法找出合理的解釋，想要說服家長，的確相當困難。

當我們說不出合理的解釋時，就會說，這個觀念會影響未來的學習，但是影響哪一方面的學習？這個觀念哪裡重要？若不能夠清清楚楚的講出來，恐怕質疑仍然會不斷而來。

因為乘法的被乘數和乘數交換的影響「似乎」真的不大，都能算出相同的答案！那麼，老師，究竟你在堅持什麼？ 我有三個理由，反對三年級學生將被乘數與乘數交換列式。

第一、基於生活習慣的問題。

我們在教學生學習數學的軌跡，其實跟人類學習數學很像，我們在教孩子學習的，不就是數萬年前的人類所使用的方式嗎？當時間累積夠長，人類智慧累積到一定程度時，才能進展到下一步，而那些想法都是創造新作法的養分，我們不能說古時的人太笨，怎麼不知道怎樣做才會算得更快，而是我們累積了他們的智慧。

乘法之源來自於解決連續加的問題，所以定義「單位數」記在前（即被乘數）、「數量」記在後（即乘數），這是原始的定義，在解決「多幾個」的問題時，也會比較容易解決。

例如：一隻青蛙四條腿，三隻青蛙幾條腿，學生能寫出4*3，這符合古人學習乘法的軌跡，也是我們生活習慣的寫法，如果學生寫出3*4，當然要改正！如果沒有改正的話，那麼，你追問再多兩隻青蛙，會變成幾條腿，他就無法像一般學生很快的在「乘數」上增加二變成4*5，他會在3*4的算式止步，重新思考一隻青蛙四條腿，五隻青蛙幾條腿。

而我們一般的帳簿上，也可以看見乘法創造的軌跡，無論是出貨單或帳簿，都會將「單位數」—也就是「單價」—寫出前面，將「數量」寫在後面，如果要更改數量時，就習慣性更改後面的數字。

如果習慣相反寫的小孩，面對生活上的寫法跟他習慣寫法不同時，就會容易混淆。

所以，二、三年級時，我們應該讓他習慣列出單位數乘以數量的式子。

第二、我們不該灌輸孩子，只要答案對，過程怎麼列都對的觀念，這樣學習數學其實很危險。

最近，在和學生討論四則運算時，我們討論到了「答案對，列式就一定對了嗎？」的觀念討論。

「小九身上有20元，爸爸給了他50元去買早餐，到了早餐店給了老闆30元，老闆找他15元，結果不小心掉了10元，請問小九身上剩下多少元？」依照題意的列式是20+50-30+15-10，但是有小朋友列出20+50+15-30-10，我們開始討論兩個列式是不是都可以。

最後的結論是，兩個列式講得是不同情境，雖然答案相同，但是在說明不同的事情。

後者的時間序跟題目完全不同，講得不是同一件事情，所以，在這個應用問題上，不該列出後面的式子。

列式是否能將題目的意思完整呈現，在未來進入複雜方程式的列式時，絕對會影響思考邏輯，當列式無法透過題目直接轉換成數學式子時，那麼接下來的解題就容易出現誤差，開頭錯，答案有可能一樣嗎？恐怕很難！所以，二、三年級時，我們應該讓他學習如何忠實將文字題轉換成數學式子。

否則接下來，出現算式填充題時，你能奢望學生列出算式填充題嗎？他恐怕會列出一個更簡單的式子去解決問題，同樣能把答案算出來，但是，他的式子講得跟題目已經不同了，當然，更重要的是，他就不會想要學習算式填充題了。

而那是為了一元一次方程式的佈局，可以不學嗎？ 第三、學生要能寫出數量乘以單位量的式子，他理應經過兩種學習歷程。

一個是已經能判斷何謂單位量，何謂數量了。

接著，他要能清楚知道，為什麼乘法有交換律。

當學生很清楚知道這兩點時，我們就能接受學生寫出數量乘以單位量的式子，但是，多少學生能清楚答得出來？問他為什麼被乘數和乘數可以互換，聽到的答案多半是「爸媽說可以」，要不然就是「安親班老師說可以」，最多再進一步說「因為答案會一樣」，但是答案為什麼會一樣？能否布一題來解釋？恐怕說不出來了。

如果，我們在二、三年級的數學，直接接受學生列出數量乘以單位量的式子，那麼，他會跳過兩個他該學習的東西。

一個就是判斷題目中，哪個是單位量，哪個是數量，另一個就為什麼乘法有交換率，但是除法沒有，為什麼加法有交換律，減法沒有？他跳過了這兩個學習，他也不需要再花腦筋思考這兩件事情了，因為他已經用強迫接受的方式學習到了成人模式。

數學從三年級就不習慣動腦，如何奢望打好基礎？所以，二、三年級時，我們應該讓他思考他應該要學到的「判斷單位量與數量」以及「乘法為什麼有交換律」。

還有其他理由嗎？應該有吧。

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