點集拓樸. 範例-Rn空間. 歷史切片. 賦距空間 (metric spaces). 距離函數. closed set. open set. 緊緻集 (compact set). open cover.
點集拓樸
範例-Rn空間
歷史切片
賦距空間(metricspaces)
距離函數
closedset
openset
緊緻集(compactset)
opencover
性質
歷史切片
連通集(connectedset)
點集拓樸
背景說明
在談連續,微分時,點與點,點與集合的相對位置等會出現.這些是點集拓樸(位相學,topology)的樣本.
範例-Rn空間
開球(openball):設r>0,B(c,r)={xRn||x-c|0(以c為心,r為半徑的球,不連外殼).
閉球(closedball):設r>0,C(c,r)={x||x-c|Rnr},(以c為心,r為半徑的球,連外殼).
一個集合的內點:點p稱為一個集合S的內點(interiorpoint),若且唯若存在r>0,使得B(p,r)S.
一個集合的邊界點:點p稱為一個集合S的邊界點(boundarypoint),若且唯若對任意r>0,B(p,r)S且B(p,r)Sc.S之邊界點所成的集合稱為S的邊界.
Q:以上名稱合理嗎?
在19世紀中期,C.Nageli觀察到色素透入已損傷和未損傷的植物細胞的情況很不相同,提出細胞邊界是導致此一滲透性的關鍵所在.其後德國植物學家,W.Pfeffer在1897年明確提出細胞"膜"的存在,這層質膜是水和溶液進入細胞的普遍障礙. (theplasmamembrane-aviewofthecell/interactivebiology; thediscoveryofcells/interactivebiology)
開集合(openset):如果集合S中的每一點都是S的內點,則稱S為一開集合.
閉集合(closedset):如果Sc(集合S的餘集合)是開集合,則稱S為一閉集合.
歷史切片
Peano(GiuseppePeano,1858-1932)的工作.
1887.觀察到S的邊界會超乎直觀.例:S為[0,1]上有理數所成的集合,則S的邊界是[0,1].
1887.更精確釐清一集合SRn,n=1,2,3的內點(interiorpoint),邊界點(boundarypoint),外點(exteriorpoint)的定義.
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賦距空間(metricspaces)
背景說明:在抽象(函數)空間上模仿Rn有關"距離"的配備.
定義. 設X:一集合.p,qX.
若存在實數函數d(p,q)0滿足
(a)若pq,則d(p,q)>0;d(p,p)=0.
(b)d(p,q)=d(q,p).
(c)rX,d(p,q)d(p,r)+d(r,q).
則稱d為X上的一個距離函數-distancefunction(或稱為一metric);同時稱X為一賦距空間.
例.C([1,2])為[1,2]區間上連續函數所成的集合.對f,gC([1,2]),令d(f,g)=maxx[1,2]|f(x)-g(x)|.
則(X,d)為一賦距空間.
Hammingdistance(編碼理論中使用)
分子的極性:分子內部正負電荷載體的分離程度.如:水分子中帶正電荷的氫原子與帶負電荷的氧原子間存在一定的距離.
正負電荷分離的分子就稱極性分子;否則就稱非極性分子.在溶液中,由於電相互作用的關係,極性大的溶劑易溶解極性大的溶質.
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定義. 設(X,d)為賦距空間,EX,pX.
r>0,Nr(p)={qX|d(p,q)0使得Nr(p)E.
E是一個opensetE中的每一點都是E的interiorpoint.
E是一個boundedset(E為有界)存在M>0,qX,使得pX,d(p,q)0,使得Nr(p)YE.
E是openrelativetoY存在E中的opensetG,使得E=YG.
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緊緻集(compactset)in賦距空間(X,d)
背景說明:設(X,d)為賦距空間,EX.主要探索甚麼樣的E,在其中的序列一定有(子序列)收斂的狀態發生.
定義(Heine1872;Borel1895).設X:ametricspace.{G}:acollectionofopensubsetsofX.
EX.{G}稱為E的一組opencoverEG.
KX.K稱為一個compactset任一K的opencover,都包含有一K的finitesubcover.
性質.
K:acompactsetKisclosed.
K:compact,EK,E:closedEiscompact.
K:compact,F:closedFKiscompact.
K:都是compact,且其中任意有限多個的交集非空K.
設Kn都是非空,compact,且K1K2K3...nKn.
K:compactinX對任一infinitesetEK,K中必存在一點為E的limitpoint.
X=Rk
{In}為R上的閉區間(有界)序列且I1I2I3...nIn.
[a,b]R為compact.
定理(Bolzano-Weierstrass)
在Rk中的任一有界infiniteset,必存在limitpoint(inRk).
定理(Heine-Borel)
ERk.
E為closedandboundedE為compact.
若X=Rk,下列三敘述為對等.
(a)E為closedandbounded.
(b)E為compact.
(c)任一在E中的infinitesets都在E中存在limitpoint.
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歷史切片(ref.wiki)
在19世紀,數學上一些結果-後來認知與compactset相關-陸續浮現:
BernardBolzano(1817)用bisection的方法得知在直線或平面中任一有界序列必存在子序列收斂到某一點,此點稱為limitpoint.
但直到50年後,因為,KarlWeierstrass的重新發現,Bolzano'stheorem及其證明方法之意義,才被看見.
在1880年代,已經清楚認知Bolzano–Weierstrasstheorem的類似結論在函數空間同樣成立:
GiulioAscoli,CesareArzelà開啟將函數視為如同Rk中的"點"之概念.
Arzelà–Ascoli定理是Bolzano–Weierstrass定理在連續函數空間上的推廣,敘述(特定背景)函數序列中一定存在均勻收斂的子序列.其均勻收斂的目標函數即為limitpoint.
在19世紀末,20世紀初,DavidHilbertandErhardSchmidt在積分方程領域得到類同ArzelàandAscoli定理的結論:Schmidt利用積分方程的Green'sfunction,得到在meanconvergence的觀點(-在Hilbert空間的收斂)下類似的結果.
在1906,MauriceFréchet提煉出Bolzano–Weierstrassproperty的本質,並命名為compactness(他已在1904年論文中使用此字彙).
另一方面,在19世紀末"continuum"-分析學理論基礎-的研究中,EduardHeine在1870年證明了在有界閉區間上的連續函數為均勻連續.在證明過程中,他用到了一個lemma,說明在有界閉區間上的任一countableopencover,必存在有限subcover.ÉmileBorel(1895)覺察出此lemma的重要性,其後PierreCousin(1895),HenriLebesgue(1904)並將countableopencover改進為任意opencover.
註:現今熟悉的Heine–Boreltheorem,係闡述實數上有界閉區間的特性.
Russian點集拓樸學派,在PavelAlexandrov以及PavelUrysohn的帶領下,以"拓樸空間"相容語言敘述Heine–Borelcompactness.Alexandrov&Urysohn(1929)證明早先Fréchet觀點的compactness(現代稱為(relative)sequentialcompactness),在一些條件下,可由"finitesubcover"的定義導出.這就是現今compactness的主要定義:只牽涉到背景空間的opensets,因此可以被最廣義的使用.
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連通集(connectedset)
定義.(X,d):賦距空間,A,BX.
A,B稱為seperatedA=且B=.
EX稱為connectedE不能表為兩個seperatedsets的聯集.
ER是connectedE是一區間.
