十九世紀美國數學的減法演進

美國的減法演進中，最常使用的三種減法運算法，如下列。

1. 分解演算法(the decomposition method) ... 因為3不夠減8,所以從十位數中的5取出1加入個位數的3裡面。

得下式. 十九世紀美國數學的減法演進                              國北師教學碩士班研究生/北縣明德高中 陳玉芬老師 雖然美國的歷史不到300年，但在各方面的成就卻一直執世界之牛耳，我想其部份原因，也許可導源於當初是來自英國的殖民地，所以，其民族性大都有著較為民主，開放且能包容接納各種不同的觀點。

當然，教育也不例外。

由Susan Ross與MaryPratt-Cotter所寫的“SubtractionintheUnitedStates:An HistoricalPerspective”，就是從美國殖民地時代(1607-1774) 為起點，來探討十九世紀美國數學在減法中的演進。

首先，作者先將美國最常使用的三種方法做了一個概略的介紹，然後，再依序年代詳述每一個演算法的變遷，一直到我們最熟悉的『標記數值符號』，最後，再給職前教師在教法上的一些省思。

以下內容，則是筆者依其文意，將它改寫整理如下，藉此來和大家一同分享。

一．美國的減法演進中，最常使用的三種減法運算法，如下列。

1.分解演算法(thedecompositionmethod) 這是三種方法中最常使用也最佔優勢的一種，也是目前美國所使用的演算法。

即一般所謂的『借位法』（the borrowingmethod），事實上，『借位法』這樣的專有名詞用在這個方法中，似乎有些不恰當，因為『借』總是有『還』的意義，而在這個方法中『還』的動作較不明顯．現在先以下面的例子說明．   表1分解演算法例 53-18=?   53=5個10 +3個1 18=1個10 +8個1   因為3不夠減8,所以從十位數中的5取出1加入個位數的3裡面。

得下式 53=4個10 +13個1 18=1個10 + 8個1   53–18=3個10+5個1=35                                                                    2. 等量加法演算法(theequaladditions) 等量加法演算法應追溯到15世紀到16世紀 (Johnson,1938)，又稱為『借位及回報法』（theborrowandrepaymethod），其實在這個演算法中，用『借位』應該是更為貼切，因為當被減數因不夠減而要向前一位借10時，那麼就要『還』一個10在其所對應的減數上。

以表2的例子來說，當10加到被減數4時，也要加10到減數的7上 (也就是加相同的量到二個數，將不會影響二數彼此的差，即等量加法公理之意)。

                表2  等量加法演算法例           3.澳地利演算法(Austrianalgorithm) 也是一種熟悉的加法演算法，因為這樣的演算法將使得對加，減法之間的連結更加清晰，因為它的連結是透過找出所『欠缺不明』的加數，而不是著重在二數的差．以下表3為例：它是在強調7要加多少才得到13？9要加多少才得到14？   表3澳地利演算法例一           　　表4　澳地利演算法例二           在表4中，很明顯的也是一種澳洲演算法，只是它將底線畫於第一列的數字下，其主要目的也就是在強調加法的逆運算．而右邊文字則是從第二列開始的說明。

二．在美國的減法演進 減法的演進，對美國來說，在1940年後的變化就比較小。

現在，先來看看1800年至1900年這期間的變化是如何？ 1.從1819年的教科書的說明，我們可以看出在這個時期是使用『等量加法演算法』，以下是它的使用規則： 　　(1) 將較小的數放在較大的數的下面，同時個位數對齊個位數，十位數對齊十位數，以此類推。

　　(2) 從右邊開始，而且將上面的數減去下面的數並寫下它的差。

    (3)如果在下面的數大於上面的數，則用10減去下面的數，並將差加到上面所對應的數，然後寫下它的和。

    (4)當下面的數被10減去之後，那麼必須在該數的前一位數加1。

2.　1836年左右，在一份私人收集的手稿中，我們也可看到教師所使用的教法仍是『等量加法演算法』，在手稿中可看出並未對學生說明為何這方法要如此操作或為何使用這方法就會得到這二數的差。

學生只是被給予這些規則，並給予多種的題目做演練（手稿內容如下）： 將較小的數放在較大數的下方同時個位數對齊個位數，十位數對齊十位數並畫一條底線在二數下面，從右邊開始計算，而且下面的每一位數都用上面所對應的每一位數來減並寫下餘數，如果下面的數大於上面的數，那麼加10到上面的數，同時進１位到下面數的前一位數，以此類推直到所有的數都完成．證明方法就是將餘數與較小的數相加如果相加的和等於較大的數就表示此操作正確。

3.在這時期有二種重要的演算法            (1)藉由誘導與分析的練習演算法(PracticalArithmeticbyInduction andAnalysisRay,1857) 這是完全有別於之前的規則演算法，因為它首先將每一個題目表格化，同時給予註解以說明減法的過程與原理。

從表5中也可清楚知道這時期已演變至『分解演算法』。

表5                                　　　　　　　　  要補充說明的是，『分解法演算法』雖然是這個時期教科書中的重點，但在教科書中也會藉由例子來說明『等量加法演算法』的過程，也就是說在這個時期，他們是允許學生使用二種方法，更有趣的，是利用心算來求解是被鼓勵的。

         (2)標準演算法(StandardArithmetic,Milne,1895)：這是當時的一本教科書，我們從書中的規則可以知道它是在介紹『分解演算法』，也就是說到了這個時期，已從『等量加法演算法』改變到『分解演算法』，而在這本教科書中，它的規則設定如下： 「減數放在被減數之下，同時個位數對齊個位數，十位數對齊十位數，以此類推，從右邊開始，減數中的每一位數與所對應的每一位被減數來相減並在下面寫下結果，如果被減數的數值比對應減數的數值小，那麼被減數就加10再減，然後再將被減數的前一位數字消去１，再依照前法相減。

」至於證明的方法，就是將餘數與減數相加，如果結果等於被減數，這操作就正確。

同時，在這本書中，它將0分開處理，以下就是9000-7685的說明：「因為個位數的0不夠減5，而且十位數, 百位數都沒有數值,因此須將1000轉化成10個百，而剩下8000，1百又轉化成10個十，而剩下90，1個十又轉化成10個一，因此9000可表示成8千9百9十又10個一，然後與減數7685相減。

」 4.有操作說明而無符號標記的時期 從早期一直到1900年的中期，這段期間，所有教科書裡面的例子都是利用這三種不同演算法的組合來教減法．同時我們也注意到在這期間，例子的說明並沒有做任何的標記或將數字重寫，學生只能用心算，然後將算出來的差呈現出來，也就是整個書寫的過程中只看到答案的說明，看不到解題思考的過程，以下就是這樣例子的說明   表6               5.重大改變的年代 1937年William A.Brownell有了重大的研究結果，他認為在演算法中應找出一個『輔助說明』(crutch)，這樣對解決減法問題是有幫助的，而這『輔助說明』包含了數字的標記，或是保持一個被借走後數量軌跡的追蹤。

以下，也是利用『分解演算法』再做數字的標記以及命名活動 (renamingprocess)的追蹤。

(所謂的命名活動就是指1千等價於10個1百或1百等價於10個十等等) 表7                                     Brownell 同時也指出，學生在學習借位減法的初期階段，這樣的標記方式是很有用的；緊接著，這樣的方式也就流行起來了，如下表8。

而這時期大部分的教科書也都還是利用『分解演算法』來說明減法借位的過程。

雖然一些教科書也是會呈現其他方式的減法演算法，但『分解演算法』仍可算是主要的教法在當時期的美國。

表8                                      表9                        儘管這樣標記的方式開始盛行，但是在使用上仍有許多的爭議，有的爭議指出：這樣的學習對學生而言是不利的，因為學生沒有被要求要記憶過程，而且操作似乎太容易，學生不會有真正的學習，且學生只會使用標記，卻不瞭解其真正的減法程序．但十分有趣的是這方法卻非常迅速地流行在所有的教科書中,而等量加法演算法與澳洲演算法也就消失．以下表9~表12就是當時『分解演算法』的說明。

                           表10                                      表11                                       表12     三． 百家爭鳴 在1900年的早期, 數學教育家在小學基礎教育的減法演算法之間有些爭議。

1. 有許多的研究指出想要試著找出究竟何種演算法較好，但始終無法做出決定；紐約教育局在1913年、舊金山教育局在1919年二者都指示使用奧地利法來教減法，然後這樣的指示並非有效，因為很多教師仍持續使用其他的方法，也有研究指出在紐約市大約只有1/3的學童使用教育局所指示的版本.。

2. 其他的研究也指出，在1914年，Brownell的『輔助教法』出現之前，一位英格蘭實驗家P. B.Ballard探索這三種方法之後指出：他覺得『等量加法演算法』是優於『分解演算法』(Osburn, 1927)；同樣地，1918年，W.W.McClelland 比較這『等量加法與分解法』，並做如下的結論： 　　『等量加法演算法』在初學狀態時，不論是以速度或正確性而言都是較優於『分解演算法』的，但是，若以長期的練習之後來比較，『分解演算法』的速 度則優於『等量加法演算法』。

3. Johnson(1938) 的研究指出：『分解演算法』並沒有比其他的演算法來得成功。

4. 也有在Brownell的『輔助教法』出現之前的研究指出：『分解演算法』的使用率是『等量加法演算法』的2.5倍。

由以上的資料顯示，在當時的專家眼中，確實也無法決定出何者或何時使用何種的演算法是最適當的，因此對究竟該選擇何種的演算法來教學，就變成是教師專業素養很重要的一環了．而下列也對於職前教育應有的省思也有所提醒。

四．職前教師對於減法應有的態度 　　在Morton (1927) 所著的一本關於職前教師教育的教科書中，有討論這三種演算法的優缺點．但並沒有主張哪一種的演算法較好，他指出他個人則傾向於『分解演算法』。

並建議未來的教師應以開放的態度來衡量這三種的演算法。

同時期，在另一方面，Stone (1925)則強烈支持『等量加法演算法』。

一直到了1930年，Clark, Otis,andHatton(1939)則認為前面所述的二種方法是很類似的。

接著在Teaching ArithmeticforUnderstanding(Marks,Purdy,&Kinney,1958) 一書中，則是都有教『分解演算法』及『等量加法演算法』，並讓學生知道『分解演算法』是較常使用的方法，但強調二種方法是都必須要了解的。

簡要地來說，在Eicholz等人(1964) 所發行的方法書中，他們並未提到『等量加法演算法』，反而詳細描述『分解演算法』與Brownell的『輔助教法』。

　　到了1960年，『學校數學研究團隊』為低年級出版了教科書系列，而重點是在於位值上的『標記數字』(place value) ，即在使用『輔助說明』時所標記的數字。

而所運算的數字則是寫成等價的表逹方式（如：437=4個『一百』+ 3個『十』+7個『一』），以便於說明減法的程序與演算法。

同時，在教減法之前應要完成數字等價的表逹方式。

而這樣的教法自然也會縮短很多在使用『輔助說明』時的速度，但強調教師除了應注意『標記數字』的動作之外，對於單位換算本質上的一些變化也是很重要的。

　　從殖民地時期開始，演算法與描述減法的語言都已有所改變，而其中最大的變動，就是在20世紀Brownell的『輔助教法』出現之後，到了今天，在新的版本中對於『分解演算法』已有非常完整的定義，相對於其他的方法則幾乎很少使用了。

五．改寫後記 　　知識總是隨著人們使用的頻率呈正比地保存或不斷地去蕪存菁，任何一種方法都有其相對的優點與缺點，而這些相對的優點與缺點也許會因為時代的背景，民族的特性，或地理的環境而有所改變。

所以，教師所要做的應是在各種的方法中，分析出最適當的教學方法 (也許是單一的方式，也許是綜合的方式)。

而由上面三種數學減法的演進，我們不難歸納出一些原因與結論。

『分解演算法』，強調的是『重新命名』的過程，而這樣的命名過程中，學童是可以藉由教師利用具體物的操做而逹到解題的目的。

這也正是它可以保存下來或是盛行的主因，因為它能具體地被接受。

而『等量加法演算法』之所以也能有一段時間的盛行，是因為在概念上，它是一種加法的操作，然後再延伸至大數減小數，這對學童而言都只是舊經驗的複習；而『奧地利演算法』對於低年級的學童而言，在心像上的建立似乎有其難以轉彎之處，因為它的操作近似於補數的運算，所以也顯得格外地抽象。

 　再反觀我們國內所使用的減法方法，根據國小數學教材分析（82年版，91年）小學二年級二位數減法過程步驟：先由『數數』以確定數字的量；然後藉由『命名活動』了解數的等價關係；最後以直式格式進行解題策略。

這也正是美國至今所使用的『分解演算法』，而這原因則是源自於十九世紀中葉以後，隨著外國傳教士來華後，近代西方數學知識也開始被介紹到中國 (李佳嬅，2003)，然後再輾轉到了台灣，歷史似乎又這樣地延續下來了。

參考資料 SusanRoss,MaryPratt-Cotter,“Subtraction intheUnitedStates:AnHistoricalPerspective”,TME 10(2).http://jwilson.coe.edu/DEPT/TME/Issues/v10n2/5ross.html 李佳嬅 (2003).〈十九世紀西洋數學在東亞傳播　摘要〉，《HPM通訊》第六卷第十期。

臺灣省國民學校教師研習會 (2002).《國小數學教材分析－整數的數概念與加減運算》。

  以下為Ross與Pratt-Cotter “SubtractionintheUnitedStates:AnHistoricalPerspective” 一文所引用的參考資料： Brownell, W.A.(1939).Learningasreorganization: Anexperimentalstudyinthird-gradearithmetic.Durham,NC:DukeUniversity Press. Brownell, W.A.,&Moser,H.E.(1949).Meaningful vs.mechanicallearning:AstudyingradeIIIsubtraction.DurhamNC:Duke UniversityPress. Buswell, G.T.,Brownell,W.A.,&John,L.(1947).Livingarithmetic:Gradeseven.Atlanta,GA:GinnandCompany. Buswell, G.T.,Brownell,W.A.,&Sauble,I.(1963).Arithmeticweneed.Atlanta,GA:GinnandCo. Clark, J.R.,Otis,A.S.,&Hatton,C.(1939).Primaryarithmeticthroughexperience.NewYork:WorldBook Eicholz, R.E.,O’Daffer,P.G.,Brumfiel,C.F.,&Shanks,M.E.(1964).Elementary schoolmathematics.Reading,MA:Addison,Wesley. Eicholz,R.E.,O’Daffer,P.G.,& Fleenor,C.R.(1981).Mathematicsinour world.Reading,MA:Addison,Wesley. Johnson,J.T.(1938).Therelativemeritsofthreemethodsofsubtraction:Anexperimental comparisonofthedecompositionmethodofsubtractionwiththeequaladditions methodandtheAustrianmethod.NewYorkCity:Bureauofpublications, TeachersCollege,ColumbiaUniversity. Katz,V.J.(1993).HistoryofMathematics:Anintroduction.NewYork:HarperCollins. Marks,J.L.,Purdy,C.R.,&Kinney, L.B.(1958).Teachingarithmeticfor understanding.NewYork:McGraw-Hill. Milne,W.J.(1895).StandardArithmetic.NewYork:AmericanBookCo. Morton,R.L.(1927).TeachingArithmeticinthePrimarygrades.NewYork:Silver,Burdett andCo. NationalCouncilofTeachersof Mathematics.(1989).Curriculumand evaluationstandardsforschoolmathematics.Reston,VA:Author. Osburn,W.J.(1927).Howshallwe subtract?JournalofEducationalResearch, 16,237-246. Ray,J.(1857).Practicalarithmeticbyinductionandanalysis.Cincinnati:Wilson, Hinkle,&Co. Stone,J.C.(1925).Howtoteachprimarynumber:Acourseofstudyandamanualforteachers. NewYork:Benj.H.Sanborn&Co. Vogeli,B.R.,LeBlanc,J.F.,Scott,J. L.,Grimsley,E.E.,Barnhart,T.E.,&McKillip,W.B.(1981). Mathematicsformastery.Atlanta,GA:SilverBurdett. Wentworth,G.,&Smith,D.E.(1902).Arithmetic, bookone.Atlanta,GA:GinnandCo. Wentworth,G.,&Smith,D.E.(1915).Essentials ofarithmetic.Atlanta:GinnandCo. Wheat,H.G.,&Heard,I.M.(1959).Row-Peterson arithmeticbookseven.Row,Peterson,andCo. Willetts,J.(1819).Thescholar’sarithmeticdesignedfortheuseofschoolsintheUnited States(3rded.).Poughkeepsie,NY:ParacletePotter. Wilson,G.M.(1934).“For100percent subtraction,whatmethod?Anewapproach”, JournalofEducationalResearch,27,503-508.