[基礎數學] 函數的像與像原(Image and Preimage) - 謝宗翰的隨筆

中文翻譯叫做 若且唯若(or 當且僅當) ， 記得當初剛接觸這個詞彙的時候，我是完全不明白到底是甚麼意思，查了翻譯也是愛莫能助，畢竟有翻跟沒翻一樣，都是 ... 跳到主要內容 [基礎數學]函數的像與像原(ImageandPreimage) 7月19,2013 這是要介紹的概念是關於函數的image與preimage(又稱inverseimage) 現在給定一個函數$f:X\rightarrowY$，則我們說$f(x)$為$f$的值。

$X$為domain(有時候我們稱$f$定義在$X$上)，$Y$為co-domain。

下圖可以很清楚的說明這個概念 ref:http://en.wikipedia.org/wiki/Image_(mathematics) 在介紹preimage之前，我們先說說什麼是image(像) 讓$E\subsetX$，則我們稱imageof$E$under$f$為$f(E)$定義如下 \[f(E):=\{f(x):x\inE\} \]現在我們看幾個image的例子 Example1 令$f:\{1,2,3\}\rightarrow\{a,b,c,d\}$且定義 \[f\left(x\right):=\left\{\begin{array}{l} a,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x=1\\ a,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x=2\\ c,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x=3 \end{array}\right.\]試求image$f(\{2,3\})=?$ Solution 由定義  \[\begin{array}{l} f(E):=\{f(x):x\inE\}\\  \Rightarrowf(\left\{{2,3}\right\})=\{f(x):x\in\left\{{2,3}\right\}\} =\left\{{a,c}\right\}\\\\\square \end{array} \] Example2 令$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$且定義$f\left(x\right):=x^2$試求image$f(\{-2,3\})=?$ Solution 由定義  \[\begin{array}{l} f(E):=\{f(x):x\inE\}\\  \Rightarrowf(\left\{{-2,3}\right\})=\{f(x):x\in\left\{{-2,3}\right\}\} =\left\{{4,9}\right\} \end{array}\] 有了image之後我們便可以來定義甚麼是preimage，定義如下: =========================== Definition:(PreimageorInverseImage) 考慮函數$f:X\rightarrowY$，且令集合$B\subsetY$，則我們定義 preimageofBunder$f$為$f^{-1}(B)$滿足 \[ f^{-1}(B):=\{x\inX:f(x)\inB\} \]=========================== 這定義有甚麼用呢?我們用幾個例子來說明: Example1: 令$f:X\toY$，若取集合$B=Y$則由定義可知 \[ f^{-1}(B)=f^{-1}(Y)=\{x\inX:f(x)\inT\}=X \] Example2: 現給定$f:(-\infty, \infty)\rightarrow (-\infty, \infty) $且$f(x)=x^2$，試找出$f^{-1}([4,9])=?$ Sol: 首先我們可以比對此例與定義，便可發現 $f^{-1}([4,9])=\{x\in(-\infty,\infty):f(x)\in[4,9]\}$ $=\{x\in(-\infty,\infty):4\leq f(x)\leq9 \}$ $=\{x\in(-\infty,\infty):4\leq x^2\leq9 \}$ $=\{x\in(-\infty,\infty):2\leq x\leq3\or -3\leq x\leq-2\}$ $=[-3,-2]\bigcup[2,3]$$\square$ 由上例可以看出，$f^{-1}([4,9])=[-3,-2]\bigcup[2,3]$;這表示了所謂的preimage是原本定義域(domain)的子集合。

也就是在問說在 $x\in(-\infty,\infty)$之下，甚麼樣的$x$ 可以使$f(x)$的值域落在$[4,9]$之中。

好，那麼如果現在我們把前例中的函數的定義域domain改成如下： $f:[0,\infty)\rightarrow(-\infty,\infty)$則此時preimage變成 $f^{-1}([4,9])=[2,3]$ ，因為此函數的定義域已經被更改成$[0,\infty)$(也就是說$x$已經被限制不能為負值)所以由preimage定義可知 $f^{-1}([4,9])=  \{x\in[0,\infty):f(x)\in[4,9]\}$也就是再問說在 $x\in[0,\infty)$之下，甚麼樣的$x$ 可以使$f(x)$的值域落在$[4,9]$之中。

這便是preimage。

以下我們介紹幾個Preimage的性質： 令$\Omega,\Omega'$為任意集合，現考慮函數$f:\Omega\rightarrow\Omega'$則我們有以下preimage性質 (1)$f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$ (2)$f^{-1}(\Omega')=\Omega$ (3)對$A'\subset\Omega'$，$f^{-1}(A'^C)=(f^{-1}(A'))^C$ (4)Preimage對setoperation成立 \[\begin{array}{l} {f^{-1}}\left({\bigcup\limits_i^{}{{A_i}'}}\right)=\bigcup\limits_i^{}{{f^{-1}}\left({{A_i}'}\right)}\\ {f^{-1}}\left({\bigcap\limits_i^{}{{A_i}'}}\right)=\bigcap\limits_i^{}{{f^{-1}}\left({{A_i}'}\right)} \end{array}\] 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 標籤 基礎數學 數學分析 Function MathematicalAnalysis 標籤： 基礎數學 數學分析 Function MathematicalAnalysis 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 留言 FlyingOwO2021年3月24日凌晨12:42相當受用，萬分感謝回覆刪除回覆回覆新增留言載入更多… 張貼留言 這個網誌中的熱門文章 [數學分析]淺談各種基本範數(Norm) 4月15,2010 這次要介紹的是數學上一個重要的概念：Norm：一般翻譯成範數(在英語中norm有規範的意思，比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件做正規化，也就是加上規範使其正常化)，不過個人認為其實翻譯成範數也是看不懂的...這邊建議把Norm想成長度就好(事實上norm是長度的抽象推廣)，也許讀者會認為好端端的長度不用，為何又要發明一個norm來自討苦吃??既抽象又艱澀。

事實上想法是這樣的：比如說現在想要比較兩個數字$3$,$5$之間的大小，則我們可以馬上知道$3<5$；同樣的，如果再考慮小數與無理數如$1.8753$與$\pi$，我們仍然可以比較大小$1.8753