RLC電路- 維基百科，自由的百科全書

若電路元件都視為線性元件時，一個RLC電路可以被視作電子諧波振盪器。

這種電路的固有頻率一般表示為：（單位：赫茲Hz）. RLC電路 語言 監視 編輯 RLC電路是一種由電阻（R）、電感（L）、電容（C）組成的電路結構。

LC電路是其簡單的例子。

RLC電路也被稱為二階電路，電路中的電壓或者電流是一個二階微分方程的解，而其係數是由電路結構決定。

串聯RLC電路：電阻、電感和電容 若電路元件都視為線性元件時，一個RLC電路可以被視作電子諧波振盪器。

這種電路的固有頻率一般表示為：（單位：赫茲Hz） f c = 1 2 π L C {\displaystylef_{c}={1\over2\pi{\sqrt{LC}}}} RLC電路常用來作帶通濾波器或帶阻濾波器，其Q因子可以由下式得到： Q = f c B W = 2 π f c L R = 1 R 2 C / L {\displaystyleQ={f_{c}\overB_{W}}={2\pif_{c}L\overR}={1\over{\sqrt{R^{2}C/L}}}} RLC電路的組成結構一般有兩種：分別是串聯型及並聯型。

動畫演示了LC電路（無電阻的RLC電路）的工作。

電荷在電容器極板和電感之間來回傳遞。

能量在電容器的電場(E)和電感的磁場(B)之間來回振盪。

RLC電路工作情況類似，不同之處在於，由於電路中的電阻，隨著時間變化振盪電流衰減至零。

目次 1RLC串聯電路 1.1瞬態響應 1.1.1過阻尼響應 1.1.2欠阻尼響應 1.1.3臨界阻尼響應 1.2拉普拉斯域 1.2.1拉普拉斯導納 1.2.2極點和零點 1.2.3正弦穩態 2RLC並聯電路 2.1頻域 3其他構造 4參見 5參考文獻 5.1引用 5.2來源 6外部連結 RLC串聯電路編輯  圖1.RLC串聯電路V-電源電壓I-電路電流R-電阻L-電感C-電容 在此電路中，三個元件均與電壓以串聯方式連接。

其主要的微分方程可將三個元件的本構方程代入基爾霍夫電壓定律（KVL）獲得。

由基爾霍夫電壓定律： v R + v L + v C = v ( t ) {\displaystylev_{R}+v_{L}+v_{C}=v(t)\,}  其中 v R , v L , v C {\displaystyle\textstylev_{R},v_{L},v_{C}}  分別為R、L、C兩端的電壓， v ( t ) {\displaystyle\textstylev(t)}  為隨時間變化的電源的電壓。

將本構方程代入得到： R I ( t ) + L d I d t + 1 C ∫ − ∞ τ = t I ( τ ) d τ = v ( t ) {\displaystyleRI(t)+L{{dI}\over{dt}}+{1\overC}\int_{-\infty}^{\tau=t}I(\tau)\,d\tau=v(t)}  在電源電壓為常數的情況下，對上式求導，並且除以L，得到以下二階微分方程： d 2 I ( t ) d t 2 + R L d I ( t ) d t + 1 L C I ( t ) = 0 {\displaystyle{{d^{2}I(t)}\over{dt^{2}}}+{R\overL}{{dI(t)}\over{dt}}+{1\over{LC}}I(t)=0}  此方程可以寫成更常用的形式： d 2 I ( t ) d t 2 + 2 α d I ( t ) d t + ω 0 2 I ( t ) = 0 {\displaystyle{{d^{2}I(t)}\over{dt^{2}}}+2\alpha{{dI(t)}\over{dt}}+{\omega_{0}}^{2}I(t)=0}   α {\displaystyle\alpha\,}  稱為「衰減量」，用于衡量當移除外部輸入後，此電路的瞬態響應衰減的速率。

ω 0 {\displaystyle\omega_{0}\,}  為角共振頻率。

[1]此二係數由下式給出：[2] α = R 2 L {\displaystyle\alpha={R\over2L}}  ， ω 0 = 1 L C {\displaystyle\omega_{0}={1\over{\sqrt{LC}}}}  阻尼係數 ζ {\displaystyle\zeta}  是另一個常用的參數，定義為 α {\displaystyle\alpha\,}  與 ω 0 {\displaystyle\omega_{0}\,}  的比值： ζ = α ω 0 {\displaystyle\zeta={\frac{\alpha}{\omega_{0}}}}  阻尼係數也可以由R、L、C求得： ζ = R 2 C L {\displaystyle\zeta={R\over2}{\sqrt{C\overL}}}  瞬態響應編輯  圖中顯示了串聯RLC電路的欠阻尼和過阻尼響應。

臨界阻尼是用粗紅色曲線畫出的。

這些作圖統一都是在L = 1,C = 1且 ω 0 = 1 {\displaystyle\scriptstyle\omega_{0}=1\,}  情況下。

根據不同的阻尼係數 ζ {\displaystyle\zeta}  的值，該微分方程的解法有三種不同的情況，分別為：欠阻尼（ ζ < 1 {\displaystyle\scriptstyle\zeta<1\,}  ），過阻尼（ ζ > 1 {\displaystyle\scriptstyle\zeta>1\,}  ），以及臨界阻尼（ ζ = 1 {\displaystyle\scriptstyle\zeta=1\,}  ）。

該微分方程的特徵方程為： s 2 + 2 α s + ω 0 2 = 0 {\displaystyles^{2}+2\alphas+{\omega_{0}}^{2}=0}  該方程的根為： s 1 = − α + α 2 − ω 0 2 {\displaystyles_{1}=-\alpha+{\sqrt{\alpha^{2}-{\omega_{0}}^{2}}}}   s 2 = − α − α 2 − ω 0 2 {\displaystyles_{2}=-\alpha-{\sqrt{\alpha^{2}-{\omega_{0}}^{2}}}}  該微分方程的通解為兩根指數函數的線性疊加： i ( t ) = A 1 e s 1 t + A 2 e s 2 t {\displaystylei(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}}  係數A1以及A2由具體問題的邊界條件給出。

過阻尼響應編輯 過阻尼響應（ ζ > 1 {\displaystyle\scriptstyle\zeta>1\,}  ）為：[3] i ( t ) = A 1 e − ω 0 ( ζ + ζ 2 − 1 ) t + A 2 e − ω 0 ( ζ − ζ 2 − 1 ) t {\displaystylei(t)=A_{1}e^{-\omega_{0}(\zeta+{\sqrt{\zeta^{2}-1}})t}+A_{2}e^{-\omega_{0}(\zeta-{\sqrt{\zeta^{2}-1}})t}}  過阻尼響應是一個瞬態電流無振盪的衰減。

[4] 欠阻尼響應編輯 欠阻尼響應（ ζ < 1 {\displaystyle\scriptstyle\zeta<1\,}  ）為：[5] i ( t ) = B 1 e − α t cos ⁡ ( ω d t ) + B 2 e − α t sin ⁡ ( ω d t ) {\displaystylei(t)=B_{1}e^{-\alphat}\cos(\omega_{d}t)+B_{2}e^{-\alphat}\sin(\omega_{d}t)\,}  通過三角恆等式，這兩個三角函數可用一個有相位的正弦函數表達：[6] i ( t ) = B 3 e − α t sin ⁡ ( ω d t + φ ) {\displaystylei(t)=B_{3}e^{-\alphat}\sin(\omega_{d}t+\varphi)\,}  欠阻尼響應是一個頻率為 ω d {\displaystyle\omega_{d}\,}  的衰減的振盪。

振盪衰減的速率為 α {\displaystyle\alpha}  。

指數里的 α {\displaystyle\alpha}  描述了振盪的包絡函數。

B1以及B2（或第二種形式中的B3以及相位差 φ {\displaystyle\varphi\,}  ）為任意常數，由邊界條件確定。

頻率 ω d {\displaystyle\omega_{d}\,}  由下式給出：[5] ω d = ω 0 2 − α 2 = ω 0 1 − ζ 2 {\displaystyle\omega_{d}={\sqrt{{\omega_{0}}^{2}-\alpha^{2}}}=\omega_{0}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}  這就是所謂的阻尼共振頻率或阻尼固有頻率。

它是電路在無外部源驅動時自然振動的頻率。

諧振頻率 ω 0 {\displaystyle\omega_{0}\,}  是電路在有外部源驅動時的諧振頻率，為了便於區分常稱作無阻尼諧振頻率。

[7] 臨界阻尼響應編輯 臨界阻尼響應（ ζ = 1 {\displaystyle\scriptstyle\zeta=1\,}  ）為：[8] i ( t ) = D 1 t e − α t + D 2 e − α t {\displaystylei(t)=D_{1}te^{-\alphat}+D_{2}e^{-\alphat}\,}  拉普拉斯域編輯 可以利用拉普拉斯轉換分析RLC串聯電路的交流暫態及穩態行為[9]。

若上述電壓源產生的波形，在拉普拉斯轉換後為V(s)（其中s為複頻率 s = σ + i ω {\displaystyles=\sigma+i\omega\,}  ），則在拉普拉斯域中應用基爾霍夫電壓定律： V ( s ) = I ( s ) ( R + L s + 1 C s ) {\displaystyleV(s)=I(s)\left(R+Ls+{\frac{1}{Cs}}\right)}  其中I(s)為拉普拉斯轉換後的電流，求解I(s)： I ( s ) = 1 R + L s + 1 C s V ( s ) {\displaystyleI(s)={\frac{1}{R+Ls+{\frac{1}{Cs}}}}V(s)}  在重新整理後，可以得到下式： I ( s ) = s L ( s 2 + R L s + 1 L C ) V ( s ) {\displaystyleI(s)={\frac{s}{L\left(s^{2}+{R\overL}s+{\frac{1}{LC}}\right)}}V(s)}  拉普拉斯導納編輯 求解拉普拉斯導納Y(s)： Y ( s ) = I ( s ) V ( s ) = s L ( s 2 + R L s + 1 L C ) {\displaystyleY(s)={I(s)\overV(s)}={\frac{s}{L\left(s^{2}+{R\overL}s+{\frac{1}{LC}}\right)}}}  可以利用以上章節定義的參數α及ωo來簡化上式，可得： Y ( s ) = I ( s ) V ( s ) = s L ( s 2 + 2 α s + ω 0 2 ) {\displaystyleY(s)={I(s)\overV(s)}={\frac{s}{L\left(s^{2}+2\alphas+{\omega_{0}}^{2}\right)}}}  極點和零點編輯 Y(s)的零點是使得 Y ( s ) = 0 {\displaystyleY(s)=0}  的s： s = 0 {\displaystyles=0\,}    及   | s | → ∞ {\displaystyle|s|\rightarrow\infty}  Y(s)的極點是使得 Y ( s ) → ∞ {\displaystyleY(s)\rightarrow\infty}  的s，求解二次方程，可得： s = − α ± α 2 − ω 0 2 {\displaystyles=-\alpha\pm{\sqrt{\alpha^{2}-{\omega_{0}}^{2}}}}  Y(s)的極點即為前文中提到微分方程之特徵方程的根 s 1 {\displaystyles_{1}}  及 s 2 {\displaystyles_{2}}  。

正弦穩態編輯 正弦穩態可通過令 s = j ω {\displaystyles=j\omega}  的相量形式(thephasor)來表示，其中 j {\displaystylej}  為虛數單位。

將此代入上面方程的幅值中： | Y ( s = j ω ) | = 1 R 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 . {\displaystyle\displaystyle|Y(s=j\omega)|={\frac{1}{\sqrt{R^{2}+\left(\omegaL-{\frac{1}{\omegaC}}\right)^{2}}}}.}  以ω為變量的電流的函數為 | I ( j ω ) | = | Y ( j ω ) | | V ( j ω ) | . {\displaystyle\displaystyle|I(j\omega)|=|Y(j\omega)||V(j\omega)|.\,}  有一個峰值 | I ( j ω ) | {\displaystyle|I(j\omega)|}  。

在此特殊情況下，這個峰值中的ω等於無阻尼固有諧振頻率：[10] ω 0 = 1 L C . {\displaystyle\omega_{0}={\frac{1}{\sqrt{LC}}}.}   RLC並聯電路編輯  圖5.RLC並聯電路V-電源電壓I-電路電流R-電阻L-電感C-電容 RLC並聯電路的特性可以利用電路的對偶性（英語：Duality(electricalcircuits)），將RLC並聯電路視為RLC串聯電路的對偶阻抗（英語：dualimpedance）來處理，就可以用類似RLC串聯電路的分析方式來分析RLC並聯電路。

RLC並聯電路的衰減量 α {\displaystyle\alpha\,}  可以用下式求得[11]： α = 1 2 R C {\displaystyle\alpha={1\over2RC}}  而其阻尼係數為： ζ = 1 2 R L C {\displaystyle\zeta={1\over2R}{\sqrt{L\overC}}}  若不考慮 1 / 2 {\displaystyle1/2}  的係數，RLC並聯電路的阻尼係數恰好是RLC串聯電路阻尼係數的倒數。

頻域編輯  圖6.正弦穩態分析以R=1歐姆、C=1法拉、L=1亨利、V=1.0伏特來進行正規化 將並聯各元件的導納相加，即為此電路的導納： 1 Z = {\displaystyle{1\overZ}=}     1 Z L + 1 Z C + 1 Z R = {\displaystyle{1\overZ_{L}}+{1\overZ_{C}}+{1\overZ_{R}}=}     1 j ω L + j ω C + 1 R {\displaystyle{1\over{j\omegaL}}+{j\omegaC}+{1\overR}}  電容、電阻及電感並聯後，在共振頻率的阻抗為最大值，和電容、電阻及電感串聯的情形恰好相反，RLC並聯電路是抗共振電路（antiresonator）。

右圖中可以看出若用定電壓驅動時，電流的頻率響應在共振頻率 ω 0 = 1 L C {\displaystyle\omega_{0}={1\over{\sqrt{LC}}}}  處有最小值。

若用定電流驅動，電壓的頻率響應在共振頻率處有最大值，和RLC串聯電路中，電流的頻率響應圖形類似。

其他構造編輯  圖7RLC並聯電路，電阻和電感串聯  圖8RLC串聯電路，電阻和電容並聯 如圖7所示，電阻與電感串聯的並聯LC電路是有必要考慮到線圈卷線的電阻時經常遇到的一種拓撲結構。

並聯LC電路經常用於帶通濾波中，而Q因子主要由此電阻決定。

電路的諧振頻率為，[12] ω 0 = 1 L C − ( R L ) 2 {\displaystyle\omega_{0}={\sqrt{{\frac{1}{LC}}-\left({\frac{R}{L}}\right)^{2}}}}  這是電路的諧振頻率，定義為導納虛部為零時的頻率。

在特徵方程的一般形式（此電路與之前的相同）中出現的頻率 s 2 + 2 α s + ω 0 ′ 2 = 0 {\displaystyles^{2}+2\alphas+{\omega'_{0}}^{2}=0}  不是相同的頻率。

在這種情況下是固有的無阻尼諧振頻率[13] ω 0 ′ = 1 L C {\displaystyle\omega'_{0}={\sqrt{\frac{1}{LC}}}}  阻抗幅值最大時的頻率 ω m {\displaystyle\omega_{m}}  為，[14] ω m = ω 0 ′ − 1 Q L 2 + 1 + 2 Q L 2 {\displaystyle\omega_{m}=\omega'_{0}{\sqrt{{\frac{-1}{Q_{L}^{2}}}+{\sqrt{1+{\frac{2}{Q_{L}^{2}}}}}}}}  其中 Q L = ω 0 ′ L R {\displaystyleQ_{L}={\frac{\omega'_{0}L}{R}}}  是線圈的品質因數。

這可以下式很好地近似[14] ω m ≈ ω 0 ′ 1 − 1 2 Q L 4 {\displaystyle\omega_{m}\approx\omega'_{0}{\sqrt{1-{\frac{1}{2Q_{L}^{4}}}}}}  此外，精確的最大阻抗幅值由下式給出，[14] | Z | m a x = R Q L 2 1 2 Q L Q L 2 + 2 − 2 Q L 2 − 1 {\displaystyle|Z|_{max}=RQ_{L}^{2}{\sqrt{\frac{1}{2Q_{L}{\sqrt{Q_{L}^{2}+2}}-2Q_{L}^{2}-1}}}}  . Q L {\displaystyleQ_{L}}  值比1大時，可以用下式很好地近似[14] | Z | m a x ≈ R Q L 2 {\displaystyle|Z|_{max}\approx{RQ_{L}^{2}}}  .同樣，電阻與電容並聯的串聯LC電路可用於有耗介質的電容器。

這種構造如圖8所示。

在這種情況下諧振頻率（阻抗的虛部為零時的頻率），由下式給出，[15] ω 0 = 1 L C − 1 ( R C ) 2 {\displaystyle\omega_{0}={\sqrt{{\frac{1}{LC}}-{\frac{1}{(RC)^{2}}}}}}  而阻抗幅值最大時的頻率 ω m {\displaystyle\omega_{m}}  為 ω m = ω 0 ′ − 1 Q C 2 + 1 + 2 Q C 2 {\displaystyle\omega_{m}=\omega'_{0}{\sqrt{{\frac{-1}{Q_{C}^{2}}}+{\sqrt{1+{\frac{2}{Q_{C}^{2}}}}}}}}  其中 Q C = ω 0 ′ R C {\displaystyleQ_{C}=\omega'_{0}{R}{C}}   參見編輯  電子學主題 RC電路 RL電路 LC電路參考文獻編輯 引用編輯 ^NilssonandRiedel,p.308. ^AgarwalandLang,p.641. ^Irwin,p.532. ^AgarwalandLang,p.648. ^5.05.1NilssonandRiedel,p.295. ^Humar,pp.223-224. ^AgarwalandLang,p.692. ^NilssonandRiedel,p.303. ^本章節是LokenathDebnath,DambaruBhatta,Integraltransformsandtheirapplications,2nded.Chapman&Hall/CRC,2007,ISBN1-58488-575-0,198-202頁的Example4.2.13為基礎，不過為了和本文用的符號一致，有修改其中部份標示 ^KumarandKumar,ElectricCircuits&Networks,p.464. ^NilssonandRiedel,p.286. ^Kaiser,pp.5.26–5.27. ^AgarwalandLang,p.805. ^14.014.114.214.3Cartwright,K.V.;Joseph,E.andKaminsky,E.J.Findingtheexactmaximumimpedanceresonantfrequencyofapracticalparallelresonantcircuitwithoutcalculus(PDF).TheTechnologyInterfaceInternationalJournal.2010,11(1):26–34[2015-02-16].（原始內容(PDF)存檔於2013-12-03）. 引文使用過時參數coauthors(幫助) ^Kaiser,pp.5.25–5.26. 來源編輯 AnantAgarwal,JeffreyH.Lang,Foundationsofanaloganddigitalelectroniccircuits,MorganKaufmann,2005ISBN1-55860-735-8. J.L.Humar,Dynamicsofstructures,Taylor&Francis,2002ISBN90-5809-245-3. J.DavidIrwin,Basicengineeringcircuitanalysis,Wiley,2006ISBN7-302-13021-3. KennethL.Kaiser,Electromagneticcompatibilityhandbook,CRCPress,2004ISBN0-8493-2087-9. JamesWilliamNilsson,SusanA.Riedel,Electriccircuits,PrenticeHall,2008ISBN0-13-198925-1. 外部連結編輯 串聯RLC交流電路Java模擬（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=RLC电路&oldid=64524208」