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不熟悉浮點數的人最容易犯的錯誤之一,就是直接用== 或!= 比較兩個浮點數。
以最常見的IEEE 754 浮點數來說,下面這樣的判斷式竟然不成立: if (0.1 + ...
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Jun08Sat201301:40
BacktoBasic:談浮點數的比較
不熟悉浮點數的人最容易犯的錯誤之一,就是直接用==或!=比較兩個浮點數。
以最常見的IEEE754浮點數來說,下面這樣的判斷式竟然不成立:
if(0.1+0.2==0.3)
原因在於以二進位表示的浮點數並沒有辦法精確儲存0.1、0.2、0.3這些十進位實數,只能以最接近的浮點數表示,和原本的數值有微小的誤差。
三個各自帶有誤差的數字要碰巧讓整個等式成立,實在是相當困難的一件事。
基於同樣的理由,在採用IEEE754的環境下,以下程式片段陷入無窮迴圈也就沒什麼好奇怪的了:
doublex=0;
while(x!=5.0){
x+=0.1;
}
不同的計算環境可能採用不同的浮點數系統,但進制轉換、儲存、運算的誤差必然存在。
使用不會有問題,但遇到==或!=就要變得疑神疑鬼,浮點數不會輕易讓等號成立。
對於一般應用我們並不指望兩數完完全全相等,只要兩數差在可接受範圍內就好了。
最簡單的方法是計算絕對誤差:
if(fabs(a–b)<=0.001)
所謂的「可接受範圍」通常與應用領域有關,有個偷懶選擇是直接利用DBL_EPSILON、FLT_EPSILON做為誤差範圍的門檻,但這並不總是合理的做法,對於離0太遠的數值範圍甚至是很詭異的選擇,以下就用實驗來說明。
我手邊的編譯器FLT_EPSILON大約是1.19e-7,精確數字不重要,讀者只要對這個數量級(0.0000001)有概念就行了。
假如我要比較50000.0f和50000.0039f兩數,並且以FLT_EPSILON做為絕對誤差門檻,計算絕對誤差的程式碼如下:
floata=50000.0f;
floatb=50000.0039f;
if(fabs(a-b)<=FLT_EPSILON){
puts("closeenough");
}
問題來了,0.0039比FLT_EPSILON大上3萬多倍,顯然沒有資格落入足夠接近的範圍。
但在float表示法中,50000.0039f已經是所有大於50000.0f的數字中,和50000.0f最接近的數字了。
要知道離0越遠,接鄰兩浮點數之間的差就越大。
所有可正常表示的float當中,只有在[-1,1]區間內,接鄰兩數差才會小於FLT_EPSILON;若在[1,2]區間,接鄰兩數差恰好為FLT_EPSILON,負數亦然。
隨著數字增加,FLT_EPSILON很快就會小到不像話,到了16.0f時,接鄰兩數差將達到FLT_EPSILON的16倍;到了16777216.0f時,接鄰兩浮點數差已經大於1.0。
這就是為什麼在[-1,1]區間外使用DBL_EPSILON、FLT_EPSILON並不合理,就如同死守公分做為誤差單位,對於精密機械而言大得誇張,但對於計算交通路程來說卻又小得可笑,還不如實際考慮需求而設定誤差門檻。
在數值範圍變化大的場合,更好的作法是隨著尺度調整誤差門檻,也就是運用相對誤差。
其中一個非常簡單的想法概念碼如下:
intAlmostEqual(floata,floatb,floattolerance)
{
floatabsA=fabsf(a);
floatabsB=fabsf(b);
returnfabsf(a-b)/fmaxf(absA,absB)<=tolerance;
}
為了避免除以零的狀況,移項之後得到:
returnfabsf(a-b)<=tolerance*fmaxf(absA,absB);
上面這種比較法只需要誤差相對於a、b其中一個足夠小即成立,更嚴格的比較則要求誤差同時對兩者都夠小。
由於乘法有機會造成underflow,因此也有人比較喜歡除法,畢竟運算是否造成underflow並不像除以零那麼容易事先檢查。
至於tolerance該如何選擇呢?這個問題沒有固定答案,通常會選擇FLT_EPSILON的整數倍。
浮點數的不連續性衍生出另一種實現相對誤差想法,就是以兩數中較大者為比較基準,測試另一個數是否在基準的前後N個浮點數之內。
C99內建的nextafter()函數可以用來列舉接鄰的浮點數,然而效能未必令人滿意。
進一步的加速巧門必須直接操作底層表示法,而且得手工處理可能出現的浮點數特殊值,細節在此不多說明。
以上方法各自有適用情境,這裡還必須提醒一件事,帶有誤差的比較都會失去遞移性,這是和等號不同的地方。
不論採用哪一種方法,最關鍵的考量還是計算範圍與精度兩方面的需求。
以上面的例子來說,若計算範圍可達50000,而且精度需達小數點以下三位,則float的有效位數根本不可能滿足需求,任何比較方法都無濟於事。
接下來介紹一個不良示範,似乎有人認為可以使用取巧的方法來比較兩個浮點數陣列:
intArrayEqual(double*m1,double*m2,size_tcount)
{
return!memcmp(m1,m2,sizeof(double)*count);
}
除非函數目的確實是要比較記憶體內容,否則這可以說是非常糟糕的主意,甚至比直接用==還糟糕。
因為許多浮點數系統允許特殊數值存在多種不同的表示法,例如0和NaN。
就拿0來當例子吧,IEEE754有+0和-0兩種表示法,這兩種0會被==視為相等,計算特性也幾乎相同,但內部的表示法就是不一樣。
有興趣的話可以做個實驗:
doublea=0.0;
doubleb=-1.0*0.0;
printf("%d\n",a==b);
printf("%d\n",memcmp(&a,&b,sizeofa));
在大部分的計算環境底下輸出應該會是:
1
-1
經由不同計算途徑得到的0很可能使用不同的內部表示法,儘管從數值的觀點來看都代表0。
關於浮點數比較的基本觀念:http://www.boost.org/doc/libs/1_34_1/libs/test/doc/components/test_tools/floating_point_comparison.html
這篇比較偏向實作:http://randomascii.wordpress.com/2012/02/25/comparing-floating-point-numbers-2012-edition/
不良示範取材自:http://edisonx.pixnet.net/blog/post/88826345
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