微分- 維基百科，自由的百科全書

當x有極小的變化量時，我們稱對x微分。

微分主要用於線性函數的改變量，這是微積分的基本概念之一。

當某些函數 ... 微分 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 系列條目微積分學 函數 極限論 微分學 積分 微積分基本定理 微積分發現權之爭（英語：Leibniz–Newtoncalculuscontroversy） 基礎概念（含極限論和級數論） 實數性質 函數 ·單調性 ·初等函數 ·數列 ·極限 ·實數的構造（1=0.999…） ·無窮大（銜尾蛇） ·無窮小量 ·ε-δ式定義（英語：(ε,δ)-definitionoflimit） ·實無窮（英語：Actualinfinity） ·大O符號 ·上確界 ·收斂數列 ·芝諾悖論 ·柯西序列 ·單調收斂定理 ·夾擠定理 ·波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理 ·斯托爾茲－切薩羅定理 ·上極限和下極限 ·函數極限 ·漸近線 ·鄰域 ·連續 ·連續函數 ·間斷點 ·狄利克雷函數 ·稠密集 ·一致連續 ·緊集 ·海涅－博雷爾定理 ·支撐集 ·歐幾里得空間 ·內積 ·外積 ·混合積 ·拉格朗日恆等式 ·等價範數 ·坐標系 ·多元函數 ·凸集 ·壓縮映射原理 ·級數 ·收斂級數（英語：convergentseries） ·幾何級數 ·調和級數 ·項測試 ·格蘭迪級數 ·收斂半徑 ·審斂法 ·柯西乘積 ·黎曼級數重排定理 ·函數項級數（英語：functionseries） ·一致收斂 ·迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 ·差商 ·微分 ·微分的線性（英語：linearityofdifferentiation） ·導數（流數法 ·二階導數 ·光滑函數 ·高階微分 ·萊布尼茲記號（英語：Leibniz's_notation） ·幽靈似的消失量） ·介值定理 ·微分中值定理（羅爾定理 ·拉格朗日中值定理 ·柯西中值定理） ·泰勒公式 ·求導法則（乘法定則 ·廣義萊布尼茨定則（英語：GeneralLeibnizrule） ·除法定則 ·倒數定則 ·鏈式法則） ·洛必達法則 ·反函數及其微分 ·FaàdiBruno公式（英語：FaàdiBruno'sformula） ·對數微分法 ·導數列表 ·導數的函數應用（單調性 ·切線 ·極值 ·駐點 ·拐點 ·求導檢測（英語：derivativetest） ·凸函數 ·凹函數 ·琴生不等式 ·曲線的曲率 ·埃爾米特插值） ·達布定理 ·魏爾斯特拉斯函數 一元積分 積分表 定義 不定積分 定積分 黎曼積分 達布積分 勒貝格積分 積分的線性（英語：Linearityofintegration） 求積分的技巧（換元積分法 ·三角換元法 ·分部積分法 ·部分分式積分法 ·降次積分法）微元法 ·積分第一中值定理 ·積分第二中值定理 ·牛頓-萊布尼茨公式 ·反常積分 ·柯西主值 ·積分函數（Β函數 ·Γ函數 ·古德曼函數 ·橢圓積分） ·數值積分（矩形法 ·梯形法 ·辛普森積分法 ·牛頓-寇次公式） ·積分判別法 ·傅立葉級數（狄利克雷定理 ·周期延拓） ·魏爾斯特拉斯逼近定理 ·帕塞瓦爾定理 ·劉維爾定理 多元微積分 偏導數 ·隱函數 ·全微分（微分的形式不變性） ·二階導數的對稱性 ·全導數 ·方向導數 ·純量場 ·向量場 ·梯度（Nabla算子） ·多元泰勒公式 ·拉格朗日乘數 ·海森矩陣 ·鞍點 ·多重積分（逐次積分（英語：iteratedintegral） ·積分順序（英語：Orderofintegration(calculus)）） ·積分估值定理 ·旋轉體 ·帕普斯-古爾丁中心化旋轉定理 ·祖暅-卡瓦列里原理 ·托里拆利小號 ·雅可比矩陣 ·廣義多重積分（高斯積分） ·若爾當曲線 ·曲線積分 ·曲面積分（施瓦茨的靴（俄語：СапогШварца）） ·散度 ·旋度 ·通量 ·可定向性 ·格林公式 ·高斯公式 ·斯托克斯公式及其外微分形式 ·若爾當測度 ·隱函數定理 ·皮亞諾-希爾伯特曲線 ·積分變換 ·卷積定理 ·積分符號內取微分(萊布尼茨積分定則（英語：Leibnizintegralrule）) ·多變量原函數的存在性（全微分方程） ·外微分的映射原像存在性（恰當形式） ·向量值函數 ·向量空間內的導數推廣（英語：generalizationsofthederivative）（加托導數 ·弗雷歇導數（英語：Fréchetderivative） ·矩陣的微積分（英語：matrixcalculus）） ·弱導數 微分方程 常微分方程 ·柯西-利普希茨定理 ·皮亞諾存在性定理 ·分離變數法 ·級數展開法 ·積分因子 ·拉普拉斯算子 ·歐拉方法 ·柯西-歐拉方程 ·伯努利微分方程 ·克萊羅方程 ·全微分方程 ·線性微分方程 ·疊加原理 ·特徵方程 ·朗斯基行列式 ·微分算子法 ·差分方程 ·拉普拉斯變換法 ·偏微分方程（拉普拉斯方程 ·泊松方程） ·施圖姆-劉維爾理論 ·N體問題 ·積分方程 相關數學家 牛頓 ·萊布尼茲 ·柯西 ·魏爾斯特拉斯 ·黎曼 ·拉格朗日 ·歐拉 ·帕斯卡 ·海涅 ·巴羅 ·波爾查諾 ·狄利克雷 ·格林 ·斯托克斯 ·若爾當 ·達布 ·傅立葉 ·拉普拉斯 ·雅各布·伯努利 ·約翰·伯努利 ·阿達馬 ·麥克勞林 ·迪尼 ·沃利斯 ·費馬 ·達朗貝爾 ·黑維塞 ·吉布斯 ·奧斯特羅格拉德斯基 ·劉維爾 ·棣莫弗 ·格雷果里 ·瑪達瓦（英語：MadhavaofSangamagrama） ·婆什迦羅第二 ·阿涅西 ·阿基米德 歷史名作 從無窮小量分析來理解曲線（英語：AnalysedesInfinimentPetitspourl'IntelligencedesLignesCourbes） ·分析學教程（英語：Coursd'Analyse） ·無窮小分析引論 ·用無窮級數做數學分析（英語：Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas） ·流形上的微積分（英語：CalculusonManifolds(book)） ·微積分學教程 ·純數學教程（英語：ACourseofPureMathematics） ·機械原理方法論（英語：TheMethodofMechanicalTheorems） 分支學科 實變函數論 ·複變函數論 ·傅立葉分析 ·變分法 ·特殊函數 ·動力系統 ·微分幾何 ·微分代數 ·向量分析 ·分數微積分 ·瑪里亞溫微積分（英語：Malliavincalculus） ·隨機分析 ·最優化 ·非標準分析 閱論編   提示：此條目的主題不是微分學。

函數的微分（英語：Differentialofafunction）是指對函數的局部變化的一種線性描述。

微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。

微分在數學中的定義：由y是x的函數(y=f(x))。

從簡單的x-y座標系來看，自變數x有微小的變化量時(d/dx)，應變數y也會跟著變動，但x跟y的變化量都是極小的。

當x有極小的變化量時，我們稱對x微分。

微分主要用於線性函數的改變量，這是微積分的基本概念之一。

當某些函數 f {\displaystyle\textstylef} 的自變量 x {\displaystyle\textstylex} 有一個微小的改變 h {\displaystyle\textstyleh} 時，函數的變化可以分解為兩個部分。

一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變量的變化量 h {\displaystyle\textstyleh} ，可以表示成 h {\displaystyle\textstyleh} 和一個與 h {\displaystyle\textstyleh} 無關，只與函數 f {\displaystyle\textstylef} 及 x {\displaystyle\textstylex} 有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在 h {\displaystyle\textstyleh} 上的值。

另一部分是比 h {\displaystyle\textstyleh} 更高階的無窮小，也就是說除以 h {\displaystyle\textstyleh} 後仍然會趨於零。

當改變量 h {\displaystyle\textstyleh} 很小時，第二部分可以忽略不計，函數的變化量約等於第一部分，也就是函數在 x {\displaystyle\textstylex} 處的微分，記作 f ′ ( x ) h {\displaystyle\displaystylef'(x)h} 或 d f x ( h ) {\displaystyle\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}(h)} 。

如果一個函數在某處具有以上的性質，就稱此函數在該點可微。

不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。

若函數在某一點無法做到可微，便稱函數在該點不可微。

在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變量的改變量 h {\displaystyle\textstyleh} 映射到變化量的線性部分的線性映射 d f x {\displaystyle\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} 。

這個映射也被稱為切映射。

給定的函數在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。

目次 1一元微分 1.1定義 1.2和導數的關係 1.3幾何意義 1.4例子 1.5微分法則 1.6極值 2多元函數微分 2.1定義 2.2性質 2.3例子 3微分與微分形式 4參見 5參考來源 一元微分[編輯] 定義[編輯] 函數在一點的微分。

其中紅線部分是微分量 d y {\displaystyle{\textrm{d}}y} ，而 d y {\displaystyle{\textrm{d}}y} 加上灰線部分後是實際的改變量 Δ y {\displaystyle\Deltay} 設函數 y = f ( x ) {\displaystyley=f(x)} 在某區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 內有定義。

對於 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 內一點 x 0 {\displaystylex_{0}} ，當 x 0 {\displaystylex_{0}} 變動到附近的 x 0 + Δ x {\displaystylex_{0}+\Deltax} （也在此區間內）時，如果函數的增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle\Deltay=f(x_{0}+\Deltax)-f(x_{0})} 可表示為 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) {\displaystyle\Deltay=A\Deltax+o(\Deltax)} （其中 A {\displaystyleA} 是不依賴於 Δ x {\displaystyle\Deltax} 的常數），而 o ( Δ x ) {\displaystyleo(\Deltax)} 是比 Δ x {\displaystyle\Deltax} 高階的無窮小，那麼稱函數 f ( x ) {\displaystylef(x)} 在點 x 0 {\displaystylex_{0}} 是可微的，且 A Δ x {\displaystyleA\Deltax} 稱作函數在點 x 0 {\displaystylex_{0}} 相應於自變量增量 Δ x {\displaystyle\Deltax} 的微分，記作 d y {\displaystyle{\textrm{d}}y} ，即 d y = A Δ x {\displaystyle{\textrm{d}}y=A\Deltax} ， d y {\displaystyle{\textrm{d}}y} 是 Δ y {\displaystyle\Deltay} 的線性主部。

[1]:141 通常把自變量 x {\displaystylex} 的增量 Δ x {\displaystyle\Deltax} 稱為自變量的微分，記作 d x {\displaystyle{\textrm{d}}x} ，即 d x = Δ x {\displaystyle{\textrm{d}}x=\Deltax} 。

和導數的關係[編輯] 微分和導數是兩個不同的概念。

但是，對一元函數來說，可微與可導是完全等價的概念[1]:141。

可微的函數，其微分等於導數乘以自變量的微分 d x {\displaystyle{\textrm{d}}x} ，換句話說，函數的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。

因此，導數也叫做微商。

於是函數 y = f ( x ) {\displaystyley=f(x)} 的微分又可記作 d y = f ′ ( x ) d x {\displaystyle{\textrm{d}}y=f'(x){\textrm{d}}x} [2]。

幾何意義[編輯] 設 Δ x {\displaystyle\Deltax} 是曲線 y = f ( x ) {\displaystyley=f(x)} 上的點 P {\displaystyleP} 在橫坐標上的增量， Δ y {\displaystyle\Deltay} 是曲線在點 P {\displaystyleP} 對應 Δ x {\displaystyle\Deltax} 在縱坐標上的增量， d y {\displaystyle{\textrm{d}}y} 是曲線在點 P {\displaystyleP} 的切線對應 Δ x {\displaystyle\Deltax} 在縱坐標上的增量。

當 | Δ x | {\displaystyle\left|\Deltax\right|} 很小時， | Δ y − d y | {\displaystyle\left|\Deltay-{\textrm{d}}y\right|} 比 | Δ x | {\displaystyle\left|\Deltax\right|} 要小得多(高階無窮小)，因此在點 P {\displaystyleP} 附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

例子[編輯] 設有函數 f : x ↦ x 2 {\displaystylef:x\mapstox^{2}} ，考慮它從某一點 x {\displaystylex} 變到 x + d x {\displaystylex+{\textrm{d}}x} 。

這時，函數的改變量 f ( x + d x ) − f ( x ) {\displaystylef(x+{\textrm{d}}x)-f(x)} 等於： f ( x + d x ) − f ( x ) = ( x + d x ) 2 − x 2 {\displaystylef(x+{\textrm{d}}x)-f(x)=(x+{\textrm{d}}x)^{2}-x^{2}} = 2 x ⋅ d x + ( d x ) 2 = A d x + o ( d x ) {\displaystyle=2x\cdot{\textrm{d}}x+({\textrm{d}}x)^{2}=A{\textrm{d}}x+o({\textrm{d}}x)} 其中的線性主部： A d x = 2 x d x {\displaystyleAdx=2xdx} ，高階無窮小是 o ( d x ) = ( d x ) 2 {\displaystyleo({\textrm{d}}x)=({\textrm{d}}x)^{2}} 。

因此函數 f {\displaystyle\textstylef} 在點 x {\displaystyle\textstylex} 處的微分是 d y = 2 x d x {\displaystyle{\textrm{d}}y=2x{\textrm{d}}x} 。

函數的微分與自變量的微分之商 d y d x = 2 x = f ′ ( x ) {\displaystyle{\frac{{\textrm{d}}y}{{\textrm{d}}x}}=2x=f^{\prime}(x)} ，等於函數的導數。

d y d x = d ( a x n ) d x {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\frac{\mathrm{d}(ax^{n})}{\mathrm{d}x}}} ，尤其 y = a x n {\displaystyley=ax^{n}} = n a x ( n − 1 ) {\displaystyle=nax^{(n-1)}} 以下有一例子： 當方程式為 y = 2 x 2 {\displaystyley=2x^{2}} 時，就會有以下的微分過程。

d y d x {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}} = d 2 x 2 d x {\displaystyle={\frac{\mathrm{d}2x^{2}}{\mathrm{d}x}}} = 2 ⋅ 2 x ( 2 − 1 ) {\displaystyle=2\cdot2x^{(2-1)}} = 4 x {\displaystyle=4x} 微分法則[編輯] 和求導一樣，微分有類似的法則。

例如，如果設函數 u {\displaystyleu} 、 v {\displaystylev} 可微，那麼： d ( a u + b v ) = d a u + d b v = a d u + b d v {\displaystyled(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv} d ( u v ) = u d v + v d u {\displaystyled(uv)=udv+vdu} d ( u v ) = v d u − u d v v 2 {\displaystyled\left({\frac{u}{v}}\right)={\frac{vdu-udv}{v^{2}}}} 若函數 y ( u ) {\displaystyley(u)} 可導，那麼 d [ y ( u ) ] = y ′ ( u ) d u {\displaystyled[y(u)]=y'(u)du} [1]:139 極值[編輯] 主條目：極值 多元函數微分[編輯] 主條目：全微分 當自變量是多元變量時，導數的概念已經不適用了（儘管可以定義對某個分量的偏導數，但偏導數隻對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

定義[編輯] 設 f {\displaystylef} 是從歐幾里得空間Rn（或者任意一個內積空間）中的一個開集 Ω {\displaystyle\Omega} 射到Rm的一個函數。

對於 Ω {\displaystyle\Omega} 中的一點 x {\displaystylex} 及其在 Ω {\displaystyle\Omega} 中的鄰域 Λ {\displaystyle\Lambda} 中的點 x + h {\displaystylex+h} 。

如果存在線性映射 A {\displaystyleA} 使得對任意這樣的 x + h {\displaystylex+h} , lim h → 0 ( | f ( x + h ) − f ( x ) − A ( h ) | | h | ) = 0 {\displaystyle\lim_{h\to0}\left({\frac{|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0} 那麼稱函數 f {\displaystylef} 在點 x {\displaystylex} 處可微。

線性映射 A {\displaystyleA} 叫做 f {\displaystylef} 在點 x {\displaystylex} 處的微分，記作 d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} 。

如果 f {\displaystylef} 在點 x {\displaystylex} 處可微，那麼它在該點處一定連續，而且在該點的微分只有一個。

為了和偏導數區別，多元函數的微分也叫做全微分或全導數。

當函數在某個區域的每一點 x {\displaystylex} 都有微分 d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} 時，可以考慮將 x {\displaystylex} 映射到 d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} 的函數： d f : x ↦ d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f:x\mapsto{\textrm{d}}f_{x}} 這個函數一般稱為微分函數[3]。

性質[編輯] 如果 f {\displaystylef} 是線性映射，那麼它在任意一點的微分都等於自身。

在Rn（或定義了一組標準基的內積空間）裡，函數的全微分和偏導數間的關係可以通過雅可比矩陣刻畫： 設 f {\displaystylef} 是從Rn射到Rm的函數， f = ( f 1 , f 2 , ⋯ , f m ) {\displaystylef=(f_{1},f_{2},\cdots,f_{m})} ，那麼： d f x = J f ( x ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac{\partialf_{1}}{\partialx_{1}}}&\cdots&{\frac{\partialf_{1}}{\partialx_{n}}}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{\frac{\partialf_{m}}{\partialx_{1}}}&\cdots&{\frac{\partialf_{m}}{\partialx_{n}}}\end{bmatrix}}} 。

具體來說，對於一個改變量： h = ( h 1 , h 2 , … , h n ) = ∑ i = 1 n h i e i {\displaystyleh=(h_{1},h_{2},\ldots,h_{n})=\sum_{i=1}^{n}h_{i}e_{i}} ，微分值： d f x ( h ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] ( h 1 ⋮ h n ) = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n ∂ f i ∂ x j h j ) e i {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac{\partialf_{1}}{\partialx_{1}}}&\cdots&{\frac{\partialf_{1}}{\partialx_{n}}}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{\frac{\partialf_{m}}{\partialx_{1}}}&\cdots&{\frac{\partialf_{m}}{\partialx_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots\\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{\partialf_{i}}{\partialx_{j}}}h_{j}\right)e_{i}} 可微的必要條件：如果函數 f {\displaystylef} 在一點 x 0 {\displaystylex_{0}} 處可微，那麼雅克比矩陣的每一個元素 ∂ f i ∂ x j ( x 0 ) {\displaystyle{\frac{\partialf_{i}}{\partialx_{j}}}(x_{0})} 都存在，但反之不真[4]:76。

可微的充分條件：如果函數 f {\displaystylef} 在一點 x 0 {\displaystylex_{0}} 的雅克比矩陣的每一個元素 ∂ f i ∂ x j ( x 0 ) {\displaystyle{\frac{\partialf_{i}}{\partialx_{j}}}(x_{0})} 都在 x 0 {\displaystylex_{0}} 連續，那麼函數在這點處可微，但反之不真[4]:77。

例子[編輯] 函數 f : ( x , y ) ↦ ( x 2 + y 2 , ( 1 − x 2 − y 2 ) x − y , x − ( 1 − x 2 − y 2 ) y ) {\displaystylef:(x,y)\mapsto\left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)} 是一個從 R 2 {\displaystyle\mathbb{R}^{2}} 射到 R 3 {\displaystyle\mathbb{R}^{3}} 的函數。

它在某一點 ( x , y ) {\displaystyle(x,y)} 的雅可比矩陣為： J f ( x , y ) = [ 2 x 2 y 1 − 3 x 2 − y 2 − 2 x y − 1 1 + 2 x y − 1 + x 2 + 3 y 2 ] {\displaystyleJ_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}} 微分為： d f ( x , y ) : h ↦ J f ( x , y ) ( h ) {\displaystyle{\textrm{d}}f_{(x,y)}:h\mapstoJ_{f}(x,y)(h)} ，也就是： d f ( x , y ) : h = ( h 1 h 2 ) ↦ [ 2 x 2 y 1 − 3 x 2 − y 2 − 2 x y − 1 1 + 2 x y − 1 + x 2 + 3 y 2 ] ( h 1 h 2 ) = ( 2 x h 1 + 2 y h 2 ( 1 − 3 x 2 − y 2 ) h 1 − ( 2 x y + 1 ) h 2 ( 1 + 2 x y ) h 1 − ( 1 − x 2 − 3 y 2 ) h 2 ) {\displaystyle{\textrm{d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto{\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}} 微分與微分形式[編輯] 主條目：微分形式 如果說微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。

微分函數對每個點 x {\displaystylex} 給出一個近似描述函數性質的線性映射 d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} ，而微分形式對區域 D {\displaystyle\mathbf{D}} 內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式： ω ( x ) : T D x ⟶ R {\displaystyle\omega(x):\mathbf{TD}_{x}\longrightarrow\mathbb{R}} 。

在坐標記法下，可以寫成： ω ( x ) = ∑ 1 ≤ i 1 ≤ ⋯ ≤ i k ≤ n a i 1 ⋯ i k ( x ) d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle\omega(x)=\sum_{1\leqi_{1}\leq\cdots\leqi_{k}\leqn}a_{i_{1}\cdotsi_{k}}(x){\textrm{d}}x^{i_{1}}\wedge\cdots\wedge{\textrm{d}}x^{i_{k}}} 其中的 d x i {\displaystyle{\textrm{d}}x^{i}} 是 i {\displaystylei} -射影算子，也就是說將一個向量 v {\displaystylev} 射到它的第 i {\displaystylei} 個分量 v i {\displaystylev^{i}} 的映射。

而 d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle{\textrm{d}}x^{i_{1}}\wedge\cdots\wedge{\textrm{d}}x^{i_{k}}} 是滿足： d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ( v 1 , ⋯ v k ) = | v 1 i 1 ⋯ v 1 i k ⋮ ⋱ ⋮ v k i 1 ⋯ v k i k | {\displaystyle{\textrm{d}}x^{i_{1}}\wedge\cdots\wedge{\textrm{d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdotsv_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots&v_{1}^{i_{k}}\\\vdots&\ddots&\vdots\\v_{k}^{i_{1}}&\cdots&v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}} 的k-形式。

特別地，當 f {\displaystylef} 是一個從Rn射到R的函數時，可以將 d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} 寫作： d f x = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( x ) d x i {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\partialf}{\partialx_{i}}}(x){\textrm{d}}x^{i}} 正是上面公式的一個特例[5]。

參見[編輯] 微分學 微積分 導數 積分 偏導數 外微分 泰勒公式 參考來源[編輯] ^1.01.11.2歐陽光中姚允龍周淵編.《数学分析（上册）》.復旦大學出版社.2003.ISBN 7309035704.  ^梁子傑.「可微」還是「可導」？(PDF).數學教育. [永久失效連結] ^微分函数.逢甲大學網路教學實驗室.[2009-12-24].（原始內容存檔於2010-05-07）.  ^4.04.1徐森林,薛春華.《数学分析(第二册)》.清華大學出版社.2005.ISBN 978-7-302-13141-0.  ^B.A.卓里奇著，蔣鐸、錢佩玲、周美珂、鄺榮雨譯.《数学分析》第二卷.高等教育出版社.2006.ISBN 978-7-040-20257-1. 第175-183頁. 齊民友.《重温微积分》.高等教育出版社.2004.ISBN 7-040-12931-0.  WalterRudin.《数学分析原理》(PrinciplesofMathematicalAnalysis).Mcgraw-hillBookCompany.1976.ISBN 978-0-070-54235-8.  取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=微分&oldid=67559680」 分類：​微分學隱藏分類：​自2017年12月帶有失效連結的條目條目有永久失效的外部連結含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةAzərbaycancaБеларускаяБългарскиCatalàČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschEnglishEsperantoEspañolEestiSuomiFrançais客家語/Hak-kâ-ngîעבריתBahasaIndonesiaItaliano日本語ქართულიҚазақша한국어LietuviųNederlandsNorsknynorskNorskbokmålPolskiPortuguêsРусскийSimpleEnglishSvenskaதமிழ்Українська 編輯連結